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2014高中三年级数学下册期中考试题目
本试题分为选择题和非选择题两部分
1、部分
1、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目需要的一项.
复数 在复平面内对应的点坐落于
1、象限 2、象限 3、象限 4、象限
已知集合 ，集合 ，则
已知平面向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为
如图，设地区 ，向地区 内
随机投一点，且投入到地区内任一点都是等可能的，则点落
入到阴影地区 的概率为
在 中， ， ，则“ ”
是“ ”的
充分非必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也非必要条件
实行如图所示的程序框图,输出的S值为
已知函数 .下列命题：
①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;
③当 时,函数 取值;④函数 的图象与函数 的图象没公共点，其中正确命题的序号是
①③ ②③ ①④ ②④
直线 与圆 交于不一样的两点 ， ，且 ，其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是
2、部分
2、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答卷卡上.
在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的前4项和
为 .
在极坐标系中， 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，则线段
长度的最小值是 .
某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
为 ;表面积为 .
双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ，则 ;
此双曲线的离心率为 .
有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内
.若颜色相同的卡片在同一行，则不一样的放法种数
为 .
如图，在四棱锥 中， 底面 .底面 为梯形， ， ∥ , ， .若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是 .
3、解答卷：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
已知函数 ， .
求 的值及函数 的最小正周期;
求函数 在 上的单调减区间.
某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
一般 好 出色
一般
好
出色
比如，表中运动协调能力好且逻辑思维能力一般的学生有 人.因为部分数据丢失，只知晓从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生的概率为 .
求 ， 的值;
从参加测试的 位学生中任意抽取 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力出色的学生的概率;
从参加测试的 位学生中任意抽取 位，设运动协调能力或逻辑思维能力出色的学
生人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 .
如图，四棱锥 的底面为正方形，侧面 底面 . 为等腰直角三角形，且 . ， 分别为底边 和侧棱 的中点.
求证： ∥平面 ;
求证： 平面 ;
求二面角 的余弦值.
已知函数 ， .
求函数 的单调区间;
若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值.
已知椭圆 经过点 ，离心率为 .求椭圆 的方程;
直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是不是过 轴上的定点?如果是，求出定点坐标;若不是，说明理由.
从 中这 个数中取 个数组成递增等差数列，所大概的递增等差数列的个数记为 .
当 时，写出所大概的递增等差数列及 的值;
求 ;
求证： .
北京朝阳区高三首次综合训练
数学答案 2014、3
1、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B D C D
2、填空题
题号 9 10 11 12 13 14
答案
2
2
3、解答卷
15、
解：
.
.
显然，函数 的最小正周期为 . …………… 8分
令 得
， .
又由于 ，所以 .
函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分
16、
解：设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生.
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生共有 人.
则 .
解得 .
所以 . …………… 4分
设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生.
由题意可知，至少有一项能力测试出色的学生共有 人.
则 . …………… 7分
的可能取值为 ， ， .
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生人数为 人.
所以 ，
，
.
所以 的分布列为
0 1 2
所以， . …………… 13分
17、
证明：取 的中点 ，连接 ， .
由于 ， 分别是 ， 的中点，
所以 是△ 的中位线.
所以 ∥ ，且 .
又由于 是 的中点，且底面 为正方形，
所以 ，且 ∥ .
所以 ∥ ，且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 ∥ .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
证明： 由于平面 平面 ，
，且平面 平面 ，
所以 平面 .
所以 ， .
又由于 为正方形，所以 ，
所以 两两垂直.
以点 为原点，分别以 为 轴，
打造空间直角坐标系.
由题意易知 ，
设 ，则
， ， ， ， , , .
由于 ， ， ，
且 ，
所以 ， .
又由于 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分
易得 ， .
设平面 的法向量为 ，则
所以 即
令 ，则 .
由可知平面 的法向量是 ，
所以 .
由图可知，二面角 的大小为锐角，
所以二面角 的余弦值为 . ……………14分
18、
解：函数 的概念域是 ， .
当 时， ，故函数 在 上单调递减.
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.
当 时，令 ，又由于 ，解得 .
①当 时， ，所以函数 在 单调递减.
②当 时， ，所以函数 在 单调递增.
综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .…7分
当 时，由可知， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.
当 时，由可知，
①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，解得 .
②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，
解得 ，舍去.
③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.
综上所述， . ……………13分
19、
解：由题意得 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 . …………… 4分
以线段 为直径的圆过 轴上的定点.
由 得 .
设 ，则有 ， .
又由于点 是椭圆 的右顶点，所以点 .
由题意可知直线 的方程为 ，故点 .直线 的方程为 ，故点 .
若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.
又由于 ， ，
所以 恒成立.
又由于
，
所以 .
解得 .
故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分
20.
解：符合需要的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.
所以 . …………… 3分
设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .
， ， 的可能取值为 .
对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个.
所以当 取 时，可得符合需要的等差数列的个数为：
.…………… 8分
设等差数列首项为 ，公差为 ，
记 的整数部分是 ，则 ，即 .
的可能取值为 ，
对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.
所以当 取 时，得符合需要的等差数列的个数
易证 .
又由于 ， ，
所以 .
所以
.
即 . …………… 13分
